SOLVED CSCI 4830/5722 Homework 3

Problem    Set
Q1.
a) Show    that    convolving    an    image    with    a    discrete,    separable    2D    filter    kernel    is    
equivalent    to    convolving    with    two    1D    filter    kernels.    
b) Estimate    the    number    of    operations    saved    for    an    NxN    image    and    a    (2k    +    1)    ×    (2k    +    1)    
kernel.
Q2. What    happens    when    we    convolve    a    Gaussian    with    another    Gaussian?    Explain.
Q3.    What    is    Dimensionality    Reduction    and    how    is    it    important    with    respect    to    Image    
Processing?    Elaborate    on    at    least    one    advantage    and    one    disadvantage.
Q4.    (extra    credit    for    UG    students,    mandatory    for    Graduate    students)    
A    rigid-body motion    is    a    family    of    transformations    that    preserve    the    shape    and    size    of    
objects.    In    general,    any    proper    rigid-body    transformation    can    be    decomposed    as    a    rotation    
followed    by    a    translation.    Show    that,    for    any    two    vectors    u,    v        R3:
a) A    rigid-body    transformation    g:    R3→R3 preserves    the    norm of    the    vector:
‖g    *    v‖=‖v‖
b) A    rigid-body    transformation    g:    R3→R3 preserves    the    cross    product of    two    vectors
(g * u) Ä (g * v)    =    g *    (u Ä v)
Q5.    (extra    credit    for    UG    students,    mandatory    for    Graduate    students)    Design    and    
implement    a    way    of    verifying    experimentally    that    repeatedly    applying    an    averaging    filter    
approximates    Gaussian    smoothing.    Note:    this    problem    will    require    you    to    explain    your    
design    in    writing,    then    implement    it    and    test    it    via    Matlab    (or    Python).
Q6.    
MATLAB/Python Programming:    become    familiar    with    the implementation    of    the    Harris    
Corner    Detector    algorithm
• in    Matlab    
(https://www.mathworks.com/help/vision/ref/detectharrisfeatures.html), and
• in Python    (https://opencv-pythontutroals.readthedocs.io/en/latest/py_tutorials/py_feature2d/py_features_harris/py
_features_harris.html)
A. Test    how    well    the corner    detector    behaves    under    rotation,    translation,    and    scale    of    
the    image.    You    can    do    this    by    a    simple    exercise    in    matching.    Take    one    test    image    
(you    can    use    any    image    of    your    choosing)    and    prepare    a    rotated,    translated,    and    
scaled    version    of    that    image.    
Plot    the    results    of    the    corner    detection    in    each    image    and    comment    on    how    well    the    
features    in    the    original    image    have    matching    features    in    the    rotated,    translated    and    
scaled    versions.        Note:    use    the    same    parameters    when    calling    the    Harris    corner    
detection    function
B. Repeat    the    test    at    point    A.    This    time,    compare    the    results    of    the    corner    detector    in    
the    original    image    with    four    new    versions    of    it:
● Prepare    a    brighter    version    of    the    original    image    by    adding a    constant    positive
offset    to    all    pixel    values
● Prepare    a    darker    version    of    the    original    image    by    adding a    constant    negative
offset    to    all    pixel    values
● Prepare    a    sharper version    of    the    original    image    by    1)    multiplying    a    constant    
positive offset    to    all    pixel    values and 2)    subtracting a    smoothed version    of    the    
image    (see    example    in    slides    lecture    9    – sharpening    an    image).    Use    a    3x3    
kernel and    a mean    filter.
● Prepare    a    sharper version    of    the    original    image    by    1)    multiplying    a    constant    
positive offset    to    all    pixel    values and 2)    subtracting a    smoothed version    of    the    
image    (see    example    in    slides    lecture    9    – sharpening    an    image).    Use    a    5x5
kernel and    a mean    filter.
Plot    the    results    of    the    corner    detection    in    each    image    and    comment    on    what    percent    
of    features    in    the    original    image    have    matching    features    in    the    four    new    versions.    
Note:    use    the    same    parameters    when    calling    the    Harris    corner    detection    function
C. (extra    credit    for    all    students)    Test    the    robustness    of    your    implementation    by    
applying    it    to    synthetic    images    of    squares, corrupted    by    increasing    amounts of    
Gaussian    noise    as    follows:
● Prepare    a    synthetic    image    of    a    white    square    on    a    black    background
● Apply    Gaussian    noise    to    the    image.    You    should    have    at    least    3    images    with    
increasing    amounts    of    Gaussian    noise.
● Run    the corner    detection    algorithm    and    compute    the    root    mean    square    (RMS)
distance    between    the    estimated    corners    and    their    true    position.    Plot    these    
values    in    3    graphs    (one    for    each    of    the    three    noisy    images),    against    the    
standard    deviation    of    the    noise.
● How    many    corners    are    missing,    or    have    been    wrongly    detected    in    the    three    
noisy    images?
Submitting    the    assignment:
Make    sure    each    script    or    function    file    is    well    commented    and    it    includes    a    block    comment    
with    your    name,    course    number,    assignment    number    and    instructor    name.    The    written    
portion    of    the    homework    should    have    the    same    information    at    the    top,    and    it    should    be
saved    as    a    .pdf    file.    Zip    all    the    .m (or    py.) and    .pdf    files    together    and    submit    the    resulting    .zip    
file through    Canvas as    Homework    3    by    Tuesday,    February    16th,    by    10:00pm.
Rubric:
Undergraduate Graduate
Q1 a) 5 3
 b) 5 3
Q2 10 5
Q3 10 5
Q4 a) 5 EC 3
 b) 5 EC 3
Q5 10 EC 8
Q6 A. 30 30
 B. 40 40
 C. 20 EC 20 EC
TOTAL 100 100
EC 40 20